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5 Théorème de Bayes – C : la somme des points apparaissant sur les deux faces est impaire. Les événements A, B et C sont deux à deux indépendants. 2 Théorème de Bayes Considérons une des causes susceptibles de réaliser l’événement A, la cause Ck par exemple. Le théorème des probabilités composées donne : Pr (A ∩ Ck ) 5 Pr (A/Ck ) Pr (Ck ) 5 Pr (Ck /A) Pr (A) De la deuxième forme du théorème des probabilités totales, on déduit Pr(A), puis le théorème de Bayes : Pr (Ck /A) 5 Pr (A/Ck ) Pr (Ck ) n Pr (A/Ci ) Pr (Ci ) i51 Sous cette forme, le théorème de Bayes (publié après sa mort en 1763) apparaît comme une conséquence logique des axiomes et des définitions.

2 Les concepts probabilistes instant choisi comme origine (on admet que deux appels ne peuvent se produire rigoureusement au même instant, et que le phénomène n’est pas limité dans le temps). Une réalisation de cet événement est une suite croissante de nombres réels positifs ti où ti désigne l’instant d’enregistrement du ième appel : v 5 {t1 < t2 < · · · < tn < tn11 < · · · }. V est donc une partie de (R1 )N On lance deux dés et on s’intéresse à la somme des points apparaissant sur les deux dés.

Cet ensemble de trois couples réalise l’événement A. On pourrait choisir pour l’ensemble des événements, l’ensemble P(V) des parties de V, mais comme cet ensemble est en général trop vaste pour être « probabilisé », on se limite à un ensemble strictement contenu dans P(V), vérifiant les propriétés logiques suivantes, qui servent de base axiomatique à la définition mathématique de la notion d’événement aléatoire. Parallélisme entre la terminologie ensembliste et la terminologie probabiliste – À tout événement A est associé son contraire, non A ou A ou Ac qui est réalisé si et seulement si A ne l’est pas.

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